Dělitelnost

Podle toho, jestli se nám dané číslo podaří dělit beze zbytku, určujeme tzv. dělitelnost čísla. Zde uvádíme jenom přehled podmínek, které musí naše číslo splňovat, aby bylo dělitelné:

dvěma - sudá čísla
třemi   - ciferný součet dělitelný třemi
čtyřmi - poslední dvě číslice dělitelné čtyřmi nebo dvě nuly
pěti      - na konci 0 či 5
šesti     - dělitelné třemi a současně dvěma
osmi    - poslední tři číslice dělitelné osmi, nebo tři nuly
devíti   - ciferný součet dělitelný devíti
deseti  - na konci 0

Počítání se zlomky

Sčítání zlomků provádíme vhodným rozšířením některých zlomků na společného jmenovatele (zpravidla toho nejmenšího) a sečtením čitatelů. Potom je třeba co nejvíce krátit.

Odčítání se provádí obdobně, avšak čitatele odečítáme.

Násobení zlomků provádíme násobením čitatelů a jmenovatelů mezi sebou. Přitom však vycházejí velké zlomky co do počtu cifer. Proto je možno krátit kteréhokoli čitatele s kterýmkoliv jmenovatelem. Násobení celým číslem si můžeme zapsat jako kdyby toto číslo bylo lomené jedničkou, čímž máme opět dva zlomky.

Dělení zlomků provádíme násobením prvního zlomku převrácenou hodnotou druhého zlomku.

Umocňování zlomků je vlastně násobení tímtéž zlomkem. Děje se to tedy umocněním čitatele a umocněním jmenovatele. Např.

Odmocňování zlomků je analogické umocňování, tedy zvlášť odmocníme čitatele a zvlášť jmenovatele.

Trojčlenka

Jednoduchá trojčlenka se zapisuje pod sebe a to tak, že souhlasné jednotky musí být pod sebou. Označíme-li známé hodnoty a, b, c, neznámou x, zapíšeme jej takto:

Jde-li o přímou úměrnost, sestavíme poměry stejným směrem podle šipek (zde směřují obě nahoru, ale mohly by směřovat zrovna také dolů, ale obě musí mít souhlasný směr), tedy

V praxi to píšeme rovnou, kdy nejprve napíšeme x = ——— do čitatele dáme násobení dvou známých v úhlopříčce a do jmenovatele zbylou neznámou.

Jde-li o nepřímou úměru, pak šipky mohou jít tak, jak jsou čárkovaně naznačené, nebo opačně, avšak vždy rozdílným směrem. Pak podle nich opět sestavíme poměr

V praxi to opět píšeme rovnou, tj. napíšeme x = ——— do čitatele zapíšeme součin známých v řádku bez "x" a do jmenovatele zbylou známou.

Ilustrativní příklad:

V kamenném uhlí je 80 % C, v rašelině jen 6 %. Kolik tun rašeliny obsahuje stejné množství C, jako 2 tuny uhlí?

Úvaha:

Při 80 % C bylo použito 2 t uhlí. Kolik tun bude potřeba rašeliny při 6 % obsahu C? Zápis bude tedy:

80% .................2 t

6 % .................x t

Z další úvahy vyplyne, je-li to přímá či nepřímá úměrnost: Čím více procent bude hornina obsahovat, tím méně ji bude potřeba na stejné množství uhlíku. Tedy úměrnost je to nepřímá. Můžeme tedy psát rovnou zápis:

Odpověď:

Stejné množství C jako 2 tuny uhlí obsahuje 26,6 t rašeliny.

Složená trojčlenka

Složená trojčlenka se řeší stejně jako jednoduchá, avšak množství údajů si rozložíme do několika jednoduchých trojčlenek tím, že se některých členů prozatím nebudeme všímat a zahrneme je teprve do dalšího výsledku, kterého uděláme další, teď už jednoduchou trojčlenku.

Příklad:

Z 30 kg bavlny se utká 240 m látky 1,2 m široké. Kolik metrů látky široké 1,5 m se utká ze 40 kg bavlny?

Řešení:

Nejprve uděláme prvotní zápis

30kg..........240m délka............1,2m šířka

40kg........... x m délka............1,5m šířka

Abychom mohli toto spočítat, musíme si nejprve jednu společnou veličinu odmyslet tím, že ji budeme považovat za neměnnou. Např. si řekneme, že máme nejprve 30kg bavlny. Pak uděláme mezizápis pro jakési x s čárkou (x')

Tím můžeme veličiny v kilogramech na okamžik škrtnout a zůstává nám jednoduchá trojčlenka. S tou se snadno vypořádáme stanovením nejprve druhu úměry - čím bude větší šířka látky, tím dostaneme ze stejného množství bavlny menší délku, tedy je to nepřímá úměra a tak podle znalostí z jednoduché trojčlenky rovnou sestavíme zápis

Dostaneme tedy délku 192m, kterou bychom vyrobili při šířce 1,5m, avšak při použití 30kg bavlny. My ale chceme použít 40kg bavlny. Tedy uděláme novou trojčlenku, kde už nemusíme uvažovat šířku, s kterou jsme počítali dosud, tj. 1,5m.

30kg...............192m délky

40kg................x m délky

Stanovíme úměru - čím více použijeme bavlny, tím větší délku látky vyrobíme, tedy přímá úměra. Zápis bude:

Odpověď:

Ze 40kg bavlny dostaneme při šířce látky 1,5m délku látky 256m.

Mocniny

Označíme-li a jako základ, n jako exponent, nazýváme n-tou mocninou čísla a číslo aⁿ. Pro každé a > 1 platí:

Je-li n > 1, výsledek je větší než a
je-li n = 1, výsledek se rovná a
je-li 1 > n > 0, výsledek je menší než a
je-li n = 0, výsledek je roven 1
je-li n < 0, výsledek je menší než 1

Pro a < 1 platí opačná tvrzení.
Pro a < 0 nejsou v reálném oboru výsledky definovány.
Speciálně lze definovat 0^o = 1

Sčítání mocnin:

Sčítat lze pouze mocniny se stejným základem a stejným exponentem, např.

a⁵ + a⁵ = 2a⁵

obecně

aⁿ + aⁿ = 2aⁿ

Odčítání mocnin:

Odčítat lze opět pouze mocniny se stejným základem a stejným exponentem, např.

 5a³ - 2a³ = 3a³

obecně

5aⁿ - 2aⁿ = 3aⁿ

Násobení mocnin:

Násobit lze mocniny se stejným základem a různým exponentem, např.

a³.a² = a³⁺² = a⁵

obecně

a^m.aⁿ = a^m+n

Naopak máme-li mocniny různého základu a stejného exponentu, můžeme je sloučit, tedy

a³ .b³ = (ab)³

obecně

aⁿ .bⁿ = (ab)ⁿ

Obrátíme-li tento zápis, můžeme vyslovit větu: Součin mocnin umocníme, umocníme-li každého činitele

Dělení mocnin:

Dělit lze opět mocniny se stejným základem a různým exponentem, např.

a⁵ : a³ = a^5-3 = a²

obecně

Naopak máme-li mocniny různého základu a stejného exponentu, můžeme je sloučit, tedy

obecně

Opět obrátíme-li tento zápis, můžeme vyslovit větu: Podíl umocníme, umocníme-li dělence i dělitele, nebo umocníme-li čitatele i jmenovatele.

Umocňování mocnin:

Mocninu umocníme jinou mocninou, násobíme-li exponent původní mocniny novým mocnitelem, tedy

(a²)³ = a² .a² .a² = a²⁺²⁺² = a⁶ = a^2.3

obecně

(a^m)ⁿ = a^mn

Odmocňování mocnin:

Mocninu odmocníme, vydělíme-li exponent původní mocniny odmocnintelem (viz následující stať o odmocninách), tedy

obecně

Odmocniny:

Označíme-li a jako základ (někdy se také nazývá odmocněnec), a n jako odmocnitel, nazýváme pak n-tou odmocninou čísla a číslo . Toto číslo je nezáporné a v reálném oboru má význam jen pro a > 0. Opět můžeme definovat, že pro a > 1 platí:

je-li n > 1, výsledek je menší než a

je-li n = 1, výsledek se rovná a

je-li 0 < n < 1, výsledek je větší než a

je-li n = 0, úloha nemá smysl

je-li n < 0, výsledek je menší než 1, ale větší než 0.

Pro 0 < a < 1 opět platí opačná tvrzení a pro a < 0 nejsou v reálném oboru výsledky definovány.

Sčítání odmocnin:

Sčítat lze pouze odmocniny se stejným základem a stejným odmocnitelem. Např.

obecně

Odčítání odmocnin:

Odčítat lze opět pouze odmocniny se stejným základem a stejným odmocnitelem. Obecně

Násobení odmocnin:

Násobit lze odmocniny o různém základu se stejným odmocnitelem. Výsledkem bude odmocnina ze součinu základů. Bude-li nejprve odmocnitel i základ stejný, dostaneme

obecně

Budou-li nyní základy různé a odmocnitelé stejní, dostaneme

Pozn.:

Násobení odmocnin lze provést i pro jiné případy, jejich vysvětlení je však jednodušší pomocí obecných mocnin, které bude ukázáno v následujícím článku.

Dělení odmocnin:

Dělit lze odmocniny o různém základu se stejným odmocnitelem.Výsledkem bude odmocnina z podílu základů.

 

Pozn.:

Dělení odmocnin lze provést i pro jiné případy, jejich vysvětlení je však jednodušší pomocí obecných mocnin, které bude ukázáno v následujícím článku.

Umocňování odmocnin:

Umocňovat lze jakoukoli odmocninu. Výsledek bude stejný, jako kdybychom umocnili pouze základ. Např.

obecně

nebo ještě obecněji

Odmocňování odmocnin:

Odmocňovat můžeme jakékoli odmocniny. Výsledkem bude základ odmocněný součinem odmocněnců.

obecně

Obecná mocnina

Řada pravidel, které jsme dosud odvodili, lze nahradit pravidly o počítání s obecnými mocninami a navíc lze vytvořit, zejména pro odmocniny, i další pravidla, která bychom si v původním tvaru těžko pamatovali.

Jde především o záporný exponent, pro který platí, že

neboť např.

neboli

Vidíme, že výsledek je stejný, tedy že rovnost platí.

Zůstaneme-li však u n kladného, můžeme definovat mocninu s převrácenou hodnotou n, tedy 1/n. Platí totiž, že

Obecnější případ nastane, když n je racionální číslo, tj. obecně číslo ve tvaru zlomku. Pak platí, že

S touto znalostí můžeme přistoupit k rozšíření řešení násobení odmocnin tak, jak jsme se zmínili v tamější poznámce. Máme-li totiž stejné základy, ale různé odmocnitele, můžeme využít nynějších znalostí a psát

Podobně můžeme rozšířit otázku dělení odmocnin při stejných základech a různých odmocnitelích.

Mnohočleny

Mnohočlen je součet nebo rozdíl několika jednočlenů. Jednočlenem se vždy rozumí součin koeficientu a obecné mocniny neznámé. Přitom koeficient může být určitý, vyjádřený číslovkou, nebo neurčitý vyjádřený písmenem, např. 2, 8, 1/4 jsou určité koeficienty, a, b, k, jsou neurčité. Neznámou, je-li jen jedna, označujeme zpravidla x, takže ji může tvořit x, x², x⁵, případně obecná mocnina xⁿ. Tedy jednočlen může mít tvar např. 3x, 5x⁴, x⁶, nebo ax, bx³, kxⁿ. Z toho plyne, že mnohočlen může mít tvar např. 3x² + 2x - 7 a nazýváme jej podle stupně nejvyšší mocniny neznámé, která je v něm obsažena, tj. v tomto případě je to mnohočlen druhého stupně nebo též kvadratický, neboť nejvyšší mocnina neznámé je 2. K danému mnohočlenu dostaneme mnohočlen opačný změníme-li znaménka všech jeho členů. Sčítání či odčítání členů provádíme podle pravidel aritmetiky. Pro přehlednost  každý mnohočlen zapíšeme vždy v sestupném pořadí mocnin, tj. od nejvyšší mocniny neznámé po nejnižší, tj. po absolutní člen.

Mnohočleny však mohou být tvořeny několika neznámými, např. x, y, z...

Sčítání mnohočlenů:

Mnohočlen přičteme k druhému, přičteme-li každý jeho člen, přitom sečíst můžeme jen členy se stejnou mocninou.

(2x² + 3x + 5) + (4x² + 7x - 4) = 6x² + 10x + 1

Závorky v tomto případě nejsou nutné, zde jsme je napsali jen proto, aby oba mnohočleny byly na pohled patrné. Podobně

(2x²y + 3xy² - 6x + 12) + (4x²y - 7xy² + 5x - 1) =

6x²y - 4xy² - x - 11

Odčítání mnohočlenů:

Mnohočlen odečteme, přičteme-li mnohočlen opačný. Zde hrají závorky nezastupitelnou úlohu a nelze je nikdy vynechat, neboť záporné znaménko před závorkou vždy mění znaménka všech členů v závorce.

(2x² + 3x + 5) - (4x² + 7x - 4) = (2x² + 3x + 5) + (-4x² - 7x + 4)

Nyní už můžeme závorky zcela vynechat

2x² + 3x + 5 - 4x² - 7x + 4 = -2x² - 4x + 9

Násobení mnohočlenů:

Mnohočleny násobíme, násobíme-li každý člen prvního mnohočlenu každým členem druhého mnohočlenu. Zde už jsou závorky zcela neodmyslitelné.

(5x + 3y).(2x + 6y) = 10x² + 30xy + 6xy + 18y² = 10x² + 36xy + 18y²

Jednotlivá znaménka ve výsledku opět dostáváme podle známého aritmetického pravidla, tj.

 (+) . (+) = +      (+) . (-) = -

 (-) . (+) =  -       (-) . (-) = +

Dělení mnohočlenů:

Dělení mnohočlenu mnohočlenem se provádí podobně jako u racionálních čísel. Vznikne-li zbytek, připíšeme jej k výsledku např. jako zb. x, nebo jej vyjádříme jako část dělitele ve tvaru zlomku.

(x² + 7x + 13) : (x + 4) =

Nejprve dělíme členy s nejvyšší mocninou a podle toho zapíšeme první člen výsledku. Zde je x : x = x, proto zapíšeme do výsledku x a nehledíme na to, co se stane s ostatními členy, hlavně že nám takto jeden člen prvního mnohočlenu ubude. Tento částečný

výsledek hned násobíme s druhým mnohočlenem, což je x . (x + 4) = x + 4x a odečteme od prvního mnohočlenu.

 (x + 7x + 13) : (x + 4) = x

  -(x + 4x)___ 

 3x + 13

Nyní, stejně jako při dělení dvou čísel, dělíme zbytek druhým mnohočlenem, tj. dělíme (3x + 13) mnohočlenem (x + 4). Zase si všímáme jen nejvyšší mocniny, tj. 3x : x = 3, tedy připíšeme do výsledku +3 a opět tento jednočlen násobíme druhým mnohočlenem, abychom opakovali stejný postup jako v předchozím kroku, tedy

3 . (x + 4) = 3x + 12

 (x + 7x + 13) : (x + 4) = x + 3

  -(x + 4x)_____

 3x + 13

  -(3x + 12)__

 1

Tím jsme u konce, protože zbytek je menší než druhý mnohočlen a nelze tedy dále dělit. Výsledek tedy je x + 3, zb. 1, nebo, jak bylo uvedeno, výsledek zapíšeme ve tvaru

V praxi je nezbytné znát aspoň základní mocniny dvojčlenu:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Poznámka:

Lomené výrazy jsou prakticky obecné zlomky. Počítáme s nimi stejně a snažíme se upravit tak, abychom je co nejvíce vykrátili. Často se nám stává, že výrazy ve jmenovateli jsou stejné, avšak s opačným znaménkem. Pak je nejlépe vytknout koeficienty a rozšířit zlomek číslem (-1). Tím se nám změní znaménko buď ve vytknutém koeficientu, nebo v čitateli zbylého výrazu. Typický příklad je tento: